代数结构 or
有两种推广到 的方式
- 线性代数
Example 实 2 维空间.
以及分配律. property-linear-algebra 的构造使用了 的 property-real-algebra
- 代数
Eaxmple [complex-number] 复数.
加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律
复数 or 的一种来源. 谐振子 ODE 的特征方程
也参见 复数的直观解释
复数的另一种动机来自多项式的因子分解. 实多项式分解能够完全为 或 的形式的相乘, 而后者能在 中分解为 的形式, 特别地, . 于是为了方便, 可以选择使用复数, 而且你仍然可以选择认为这只是一种代数方便, 不需要复数的几何
但是在下面的 split complex 中却仍然无法分解 为一阶多项式. 甚至 有四个根, 多了两个
Eaxmple [split-complex-number] 分裂复数.
加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律
[linear] 线性结构
struct 同态 := 保持 struct 的映射
Example linear struct hom
- map to
- map to
so map to 或者简写为
linear struct hom 也称为线性映射
这种同态也可以认为是类似于纯量乘法的分配律, 先向量加法再线性映射等于先线性映射再向量加法
到自身的双射 + hom = isomorphism
linear isomorphism of :=
代数结构
Example
- 复数, 四元数, 八元数
- 矩阵代数. 但在概念和意义上, 不像是好的 代数的推广. 所以需要别的限制, e.g. normed algebra, composition algebra
[normed-algebra]
Example
def 复共轭
. 这是 spatial
by
. 这是 spacetime
by
null elements 没有乘法逆
-
give
-
give
新虚数元构造方法
Eaxmple [quaternion]
在复数 with 中使用新的虚数元
-
定义其它虚数元
-
不同虚数元反交换
-
虚数元共轭取反 or
反交换 + 共轭取反使得 , 也给出
虚数元结合
满足 norm 乘法
Example 如果用 split complex 则 从而 都给出 split quaternion
-
give
-
give
Eaxmple [octonion] 在四元数 中使用新的虚数元
定义其它虚数元
不同虚数元反交换
不同虚数元反结合 如果
虚数元共轭取反
反交换 + 共轭取反使得 , 也给出
Question 反结合是 norm 乘法 需要的
给出八元数 . split octonion 同理, with signature
-
give (Question)
-
give
从 和虚数元结合律得到的是另一种代数 , 不满足
Question 反结合不能进一步推广到十六维及以后?
[imaginary-automorphism] 新虚数元构造方法并不是无坐标的, 所以我们需要考虑虚数元的 automorphism with . 由于保持乘法, 所以自动保持距离
Example for it's symmetric
Question (ref-21, p.35) (ref-22, p.85)
- for
- for .
as automorphism of 说明了, 没有额外的结构, 例如乘法 和 , 只有单纯的线性空间结构, 无法给出 之类的特殊群. (虽然据说所有 compact group 都能存在矩阵表示.)
[affine] 仿射结构
改变原点, 平移
hom 额外保持 简写为
[problem-of-quaternionic-linear]