note-math

$(ℝ, +, \cdot)$ 代数结构 or

\begin{matrix} ℝ \in Set \\ + & ℝ^{2} \to ℝ \\ \cdot & ℝ^{2} \to ℝ \\ property-real-algebra \end{matrix}

有两种推广到 $ℝ^{𝑛}$ 的方式

线性代数

\begin{matrix} ℝ^{𝑛} \in Set \\ + & {(ℝ^{𝑛})}^{2} \to ℝ^{𝑛} \\ \cdot & ℝ \times ℝ^{𝑛} \to ℝ^{𝑛} \\ property-linear-algebra \end{matrix}

Example 实 2 维空间. $(\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑦 \end{matrix}), (\begin{matrix} 𝑥^{'} \\ 𝑦^{'} \end{matrix}) \in ℝ^{2}, 𝑎 \in ℝ$

\begin{matrix} (\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑦 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 𝑥^{'} \\ 𝑦^{'} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 𝑥 + 𝑥^{'} \\ 𝑦 + 𝑦^{'} \end{matrix}) \\ 𝑎 (\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑦 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 𝑎 𝑥 \\ 𝑎 𝑦 \end{matrix}) \end{matrix}

以及分配律. $ℝ^{𝑛}$ property-linear-algebra 的构造使用了 $ℝ$ 的 property-real-algebra

代数

\begin{matrix} (ℝ^{𝑛}) \in Set \\ + & {(ℝ^{𝑛})}^{2} \to ℝ^{𝑛} \\ \cdot & {(ℝ^{𝑛})}^{2} \to ℝ^{𝑛} \\ property-algebra \end{matrix}

Example complex-number_(tag) 复数. $𝑥 + 𝑦 i, 𝑥^{'} + 𝑦^{'} i \in ℂ$

加法和 $ℝ^{2}$ 相同. 乘法使用 $i^{2} = - 1$ or $\frac{1}{i} = - i$ 和分配律

\begin{matrix} (𝑥 + 𝑦 i) (𝑥^{'} + 𝑦^{'} i) & = & (𝑥 𝑥^{'} - 𝑦 𝑦^{'}) + (𝑥 𝑦^{'} + 𝑦 𝑥^{'}) i \end{matrix}

复数 or $𝑧^{2} = - 1$ 的一种来源. #link(<harmonic-oscillator>)[谐振子] ODE 的特征方程 $𝜉^{2} + 𝜔^{2} = 0$

Example split-complex-number_(tag) 分裂复数. $𝑥 + 𝑦 i_{split}, 𝑥^{'} + 𝑦^{'} i_{split} \in ℂ_{split}$

加法和 $ℝ^{2}$ 相同. 乘法使用 ${i_{split}}^{2} = 1$ or $\frac{1}{i_{split}} = i_{split}$ 和分配律

\begin{matrix} (𝑥 + 𝑦 i_{split}) (𝑥^{'} + 𝑦^{'} i_{split}) & = & (𝑥 𝑥^{'} + 𝑦 𝑦^{'}) + (𝑥 𝑦^{'} + 𝑦 𝑥^{'}) i_{split} \end{matrix}

linear_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 线性结构

struct 同态 := 保持 struct 的映射 $𝑓$

Example linear struct hom $𝑓 : ℝ^{𝑛} \to ℝ^{𝑚}$

$𝑥 \in ℝ^{𝑛}$ map to $𝑓 (𝑥) \in ℝ^{𝑚}$
$+ : {(ℝ^{𝑛})}^{2} \to ℝ^{𝑛}$ map to $𝑓 (+) : {(ℝ^{𝑚})}^{2} \to ℝ^{𝑚}$

so $𝑓 (𝑥 + 𝑥^{'})$ map to $𝑓 (𝑥) 𝑓 (+) 𝑓 (𝑥^{'})$ 或者简写为 $𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑥^{'})$

linear struct hom 也称为线性映射

到自身的双射 + $𝑓, 𝑓^{- 1}$ hom = isomorphism

linear isomorphism of $ℝ^{𝑛}$ := $GL (𝑛, ℝ)$

$ℝ^{𝑛}$ 代数结构

Example

$ℂ$ 复数, $ℍ$ 四元数, $𝕆$ 八元数
矩阵代数. 但在概念和意义上, 不像是好的 $ℝ$ 代数的推广. 所以需要别的限制, e.g. normed algebra, composition algebra

normed-algebra_(tag)

$ℝ$ 的乘法带有性质 $| 𝑥 𝑦 | = | 𝑥 | | 𝑦 |$

$ℝ^{𝑛}$ #link(<metric>)[二次型] 带有性质 ${⟨ 𝑎 𝑥 ⟩}^{2} = 𝑎^{2} {⟨ 𝑥 ⟩}^{2}$

$ℝ^{𝑛}$ algebra 我们期待性质 ${⟨ 𝑥 𝑦 ⟩}^{2} = {⟨ 𝑥 ⟩}^{2} {⟨ 𝑦 ⟩}^{2}$

Example

$ℂ$

def 复共轭 $i^{*} = - i$

${(𝑥 + 𝑦 i)}^{*} ≔ 𝑥 + 𝑦 i^{*} = 𝑥 - 𝑦 i$

$𝑧 𝑧^{*} = 𝑧^{*} 𝑧 = | 𝑧 |^{2} = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}$ . 这是 $ℝ^{2}$ spatial

$| 𝑧 𝑧^{'} |^{2} = | 𝑧 |^{2} | 𝑧^{'} |^{2}$ by

\begin{matrix} {(𝑥 𝑥^{'} - 𝑦 𝑦^{'})}^{2} + {(𝑥 𝑦^{'} + 𝑦 𝑥^{'})}^{2} & = & 𝑥^{2} 𝑥^{' 2} + 𝑦^{2} 𝑦^{' 2} + 𝑥^{2} 𝑦^{' 2} + 𝑦^{2} 𝑥^{' 2} \\ = & (𝑥^{2} + 𝑦^{2}) (𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2}) \end{matrix}

$ℂ_{split}$

$𝑧 𝑧^{*} = 𝑧^{*} 𝑧 = | 𝑧 |^{2} = 𝑥^{2} - 𝑦^{2}$ . 这是 $ℝ^{1, 1}$ spacetime

$| 𝑧 𝑧^{'} |^{2} = | 𝑧 |^{2} | 𝑧^{'} |^{2}$ by

\begin{matrix} {(𝑥 𝑥^{'} + 𝑦 𝑦^{'})}^{2} - {(𝑥 𝑦^{'} + 𝑦 𝑥^{'})}^{2} & = & 𝑥^{2} 𝑥^{' 2} + 𝑦^{2} 𝑦^{' 2} - 𝑥^{2} 𝑦^{' 2} - 𝑦^{2} 𝑥^{' 2} \\ = & (𝑥^{2} - 𝑦^{2}) (𝑥^{' 2} - 𝑦^{' 2}) \end{matrix}

null elements 没有乘法逆

$exp (Im (ℂ))$ give $U (1, ℂ) ≃ 𝕊 ≃ SO (2)$
$exp (Im (ℂ_{split}))$ give $U (1, ℂ_{split}) ≃ ℍ 𝕪 ≃ SO (1, 1)$

新虚数元构造方法

Example

在复数 $𝑥_{0} + 𝑥_{1} i_{1}$ with ${(i_{1})}^{2} = - 1$ 中使用新的虚数元 $i_{2}$

定义其它虚数元 $i_{3} ≔ i_{1} i_{2}$
不同虚数元反交换 $i_{2} i_{1} ≔ - i_{1} i_{2}$
虚数元共轭取反 or $\frac{1}{i} = - i$
- $\begin{matrix} {(i_{2})}^{*} & ≔ & - & i_{2} \end{matrix}$
- $\begin{matrix} {(i_{3})}^{*} & ≔ & - & i_{3} \end{matrix}$

反交换 + 共轭取反使得 $𝑥^{*} 𝑥 = 𝑥 𝑥^{*} = | 𝑥 |^{2}$ , 也给出 ${(𝑥 𝑥^{'})}^{*} = 𝑥^{' *} 𝑥^{*}$

虚数元结合 $i_{𝑖^{″}} (i_{𝑖^{'}} i_{𝑖}) = (i_{𝑖^{″}} i_{𝑖^{'}}) i_{𝑖}$

满足 norm 乘法 $| 𝑥 𝑦 |^{2} = | 𝑥 |^{2} | 𝑦 |^{2}$

${(i_{3})}^{2} = i_{1} i_{2} i_{1} i_{2} = - i_{1}^{2} i_{2}^{2} = i_{2}^{2}$

\begin{matrix} {(i_{2})}^{2} & = & - 1 & give {(i_{3})}^{2} = - 1 and ℍ \\ {(i_{2})}^{2} & = & + 1 & give {(i_{3})}^{2} = + 1 and ℍ_{split} with (2, 2) signature \end{matrix}

Example 如果用 split complex $i_{1}^{2} = 1$ 则 ${(i_{3})}^{2} = - i_{1}^{2} i_{2}^{2} = - i_{2}^{2}$ 从而 $i_{2}^{2} = \pm 1$ 都给出 split quaternion

$exp (Im (ℍ))$ give $U (1, ℍ) ≃ 𝕊^{3} ↠ SO (3)$
$exp (Im (ℍ_{split}))$ give $U (1, ℍ_{split}) ≃ ℚ^{2, 2} (1) ↠ SO (1, 2)$

Example 在四元数 $𝑥_{0} + 𝑥_{1} i_{1} + 𝑥_{2} i_{2} + 𝑥_{3} i_{3}$ 中使用新的虚数元 $i_{4}$

定义其它虚数元

\begin{matrix} i_{5} & ≔ & i_{1} i_{4} \\ i_{6} & ≔ & i_{2} i_{4} \\ i_{7} & ≔ & i_{3} i_{4} \end{matrix}

不同虚数元反交换 $i_{𝑖^{'}} i_{𝑖} ≔ - i_{𝑖} i_{𝑖^{'}}$

不同虚数元反结合 $i_{𝑖^{″}} (i_{𝑖^{'}} i_{𝑖}) ≔ - (i_{𝑖^{″}} i_{𝑖^{'}}) i_{𝑖}$ 如果 $i_{𝑖^{″}} \neq \pm i_{𝑖^{'}} i_{𝑖}$

虚数元共轭取反 ${(i_{𝑖})}^{*} = - i_{𝑖}$

反交换 + 共轭取反使得 $𝑥^{*} 𝑥 = 𝑥 𝑥^{*} = | 𝑥 |^{2}$ , 也给出 ${(𝑥 𝑥^{'})}^{*} = 𝑥^{' *} 𝑥^{*}$

Question 反结合是 norm 乘法 $| 𝑥 𝑦 |^{2} = | 𝑥 |^{2} | 𝑦 |^{2}$ 需要的

${(i_{4})}^{2} = - 1$ 给出八元数 $𝕆$ . split octonion 同理, with $(4, 4)$ signature

$exp (Im (𝕆))$ give $U (1, 𝕆) ≃ 𝕊^{7} ↪ SO (7)$ (Question)
$exp (Im (𝕆_{split}))$ give $U (1, 𝕆_{split}) ≃ ℚ^{4, 4} (1) ↪ SO (3, 4)$

从 $ℍ$ 和虚数元结合律得到的是另一种代数 $ℍ \oplus ℍ$ , 不满足 $| 𝑥 𝑦 |^{2} = | 𝑥 |^{2} | 𝑦 |^{2}$

Question 反结合不能进一步推广到十六维及以后

新虚数元构造方法并不是无坐标的, 所以我们需要考虑虚数元的 automorphism $𝑓 : Im (𝕂) \to Im (𝕂)$ with $𝑓 (𝑥 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)$ . 由于保持乘法, 所以自动保持距离

Example for $ℂ$ it's $ℤ_{2} = O (1)$ symmetric $i \to - i$

Question

$SO (3)$ for $ℍ$
$𝐺_{2}$ for $𝕆$ . $dim 𝐺_{2} = 14 < 21 = dim (SO (7))$

$𝐺_{2}$ as automorphism of $𝕆$ 说明了, 没有额外的结构, 例如乘法 $𝑥 \cdot 𝑦$ 和 $| 𝑥 \cdot 𝑦 |^{2} = | 𝑥 |^{2} | 𝑦 |^{2}$ , 只有单纯的线性空间结构, 无法给出 $𝐺_{2}$ 之类的特殊群. (虽然据说所有 compact group 都能存在矩阵表示.)

affine_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 仿射结构

改变原点, 平移

hom 额外保持 $𝑓 (𝑥 - 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (-) 𝑓 (𝑦)$ 简写为 $𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑦)$